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linenn

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Les dés du colonel

Par
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jp, le
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vendredi 25 décembre 2009 à
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14:43 |
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Prêts au départ

Dans le livre Les probabilités à l'école, publié en 1973 aux éditions CEDIC, les auteurs Maurice Glaymann et Tamas Varga tracent une grille dans la cour de l'école et alignent quatorze élèves numérotés de 1 à 14, sur la ligne de départ.

grille dans la cour de l'école

Ensuite, à chaque lancer de deux dés, l'un rouge, l'autre bleu, on calcule la somme des deux dés et l'enfant qui porte ce numéro avance d'une case vers la ligne d'arrivée.
Le premier au but, gagne, comme d'habitude.
« Ce jeu excite beaucoup les enfants. Très vite, ils s'aperçoivent... »
Je vous laisse découvrir ce jeu en famille ou en déplaçant des pions sur une grille.

Terminale

On demande en exercice la loi de probabilité de la variable aléatoire Y correspondant à la somme des points des deux dés parfaitement équilibrés.

loi de la v.a.

Multi-ensembles

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et
X + X = {2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, ...,11, 11, 12}

Polynômes

P(X) = X¹+X²+X³+X⁴+X⁵+X⁶
P(X) × P(X) = 1X² + 2X³ + 3X⁴ + 4X⁵ + 5X⁶ + 6X⁷ + 5X⁸ + 4X⁹ + 3X¹⁰ + 2X¹¹ + X¹²

Calculette

1111110 * 1111110 = 1111110² = 1234565432100
lisez 1111110 en partant de la droite du nombre : 0 faces 0, 1 face 1, 1 face 2...
et le résultat 1234565432100 vous indique, toujours en partant de la droite, qu'il n'y a aucune face zéro ni aucune face un, 1 face deux, 2 faces trois, 3 faces 4 etc.

Les dés de Sicherman

Autres dés

Peut-on obtenir le même résultat avec deux dés différents des dés normaux ?

Le colonel Sicherman s'est demandé si deux dés non conventionnels permettaient d'obtenir le même résultat et rédigea un programme en perl.

Les deux dés à six faces trouvés par le colonel sont

1 3 4 5 6 8     et       1 2 2 3 3 4

sont les faces des dés de Sicherman

Pour le vérifier, vous pouvez entrer dans la calculette ci-dessus les deux valeurs 101111010 × 12210

L'écriture 12210 indique (n partant de la droite) qu'il y a zéro face 0, une face 1, deux faces 2, deux faces 3 et une face 4, ce qui donne en changeant l'ordre : un deux deux un zéro = 1 2 2 1 0. Les faces du dé sont donc 1 2 2 3 3 4 c.-à-d. une face 1, deux faces 2, deux faces 3 et une face 4.

Recherche des solutions

Factorisation de nombres entiers

La recherche des solutions pour les dés utilise (par exemple) la factorisation de nombres entiers
Factorisation des nombres
1111110² = (2×3×5×7×11×13×37)² = 2×2×3×3 ×5×5×7×7×11×11×13×13×37×37
12210 = 2×3×5×11×37
101111010 = 2×3×5×7×7×11×13×13×37
mais il faut que les deux nombres obtenus se multiplient ensuite sans rentenues1

Factorisation des polynômes

Les polynômes sont P(X) = X¹+X²+X³+X⁴+X⁵+X⁶ et son carré.
P(X) = X (1+X¹+X²+X³+X⁴+X⁵)

Calculons d'abord
(1-X) P(X)
= X (1-X⁶ )
= X (1-X³)(1+X³)
= X (1-X)(1+X+X²)(1+X)(1-X+X²)
On met donc en évidence des polynômes cyclotomoiques.
d'où P(X) = X (1+X+X²)(1+X)(1-X+X²) est un produit de quatre facteurs
La seule façon d'obtenir deux facteurs dont tous les coefficients sont des entiers positifs est de rassembler ainsi A(X) = X (1+X) (1+X+X²) = X¹+2X²+2X³+X⁴
et B(X) = X (1+X)(1+X+X²)(1-X+X²)²=X+X³+X⁴+X⁵+X⁶+X⁸
C'est, à l'ordre près des facteurs A et B, la seule autre solution.

les probabilités à l'école (1973)

Suite Une compétition plus équitable