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Deux dés pour 36 naturels consécutifs
Par
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jp,
le
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lundi 11 janvier 2010 à
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22:45
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Obtenir 36 entiers naturels consécutifs en additionnant les faces de deux dés.
Depuis l'article précédent, on ne considère plus que des compétitions équitables. Les sommes des deux dés ont toutes les mêmes fréquences d'apparition, elles ont la même probabilité.
six fois six trente-six
Les naturels de 0 à 35
Les valeurs des deux dés qui sont répertoriées dans le tableau ci-dessous se retrouvent aisément avec un peu de réflexion, on commence par imposer les plus petits éléments 0 et puis les plus grands...
On peut aussi utiliser la méthode de Sicherman et utiliser les polynômes cyclotomiques, c'est d'ailleurs ainsi que le tableau a été obtenu.
| Un dé | l'autre dé |
|---|---|
| { 0 1 2 3 4 5 } | { 0 6 12 18 24 30 } |
| { 0 1 2 6 7 8 } | 0 3 12 15 24 27 } |
| { 0 1 4 5 8 9 } | { 0 2 12 14 24 26 } |
| { 0 2 4 6 8 10 } | { 0 1 12 13 24 25 } |
| { 0 1 2 9 10 11 } | { 0 3 6 18 21 24 } |
| { 0 1 6 7 12 13 } | { 0 2 4 18 20 22 } |
| { 0 3 6 9 12 15 } | { 0 1 2 18 19 20 } |
Voici la table d'addition de la cinquième paire de dés.
| + | 0 | 3 | 6 | 18 | 21 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 | 6 | 18 | 21 | 24 |
| 1 | 1 | 4 | 7 | 19 | 22 | 25 |
| 2 | 2 | 5 | 8 | 20 | 23 | 26 |
| 9 | 9 | 12 | 15 | 27 | 30 | 33 |
| 10 | 10 | 13 | 16 | 28 | 31 | 34 |
| 11 | 11 | 14 | 17 | 29 | 32 | 35 |
Une astuce
Il est très facile de choisir les faces des deux dés pour obtenir 36 sommes différentes quelconques, et un peu moins simple d'obtenir les trente-six nombres de à 35.
Ce qui est peut-être encore plus compliqué c'est obtenir que les valeurs supérieures à 35, s'insèrent aux places laissées libres, comme on peut le voir ci-dessous avec 40 et 42.
trente-six concurrents
Les deux dés {0 1 5 8 9 16} et {0 2 12 14 24 26}, réalisent presque toutes les sommes de 0 à 35, il ne manque que les deux entiers 4 et 6 tandis que les valeurs obtenues 16+24=40 et 16+26=42 sont au-delà de 35.
C'est un petit moment après que l'on remarque qu'en plaçant sur le schéma une seconde ligne avec les nombres 36, 37, 38... , au-dessous de 0, 1, 2... alors nos deux nombres 40 et 42 se mettent exactement aux emplacements des nombres manquants 4 et 6.
En effet 36 + 4 = 40 et 36 + 6 = 42 ou encore 40≡4 (mod. 36) et 42≡6 (mod. 36) ou enfin,
en divisant 40 par 36 on obtient le reste 4 et en divisant 42 par 36, le reste est 2.
Les résultats obtenus peuvent au premier abord sembler moins parfaits que ceux du premier paragraphe, mais ils ont l'avantage de présenter de nouvelles solutions et une plus grande variété.
Au lieu de Z et de l'addition dans Z, on se place dans Z/36Z dont on note ⊕ l'addition, ce qu'on peut voir dans la table ci-dessous.
| ⊕ | 0 | 3 | 4 | 8 | 11 | 19 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 | 4 | 8 | 11 | 19 |
| 2 | 2 | 5 | 6 | 10 | 13 | 21 |
| 12 | 12 | 15 | 16 | 20 | 23 | 31 |
| 14 | 14 | 17 | 18 | 22 | 25 | 33 |
| 24 | 24 | 27 | 28 | 32 | 35 | 7 |
| 26 | 26 | 29 | 30 | 34 | 1 | 9 |
Essayez aussi {0, 3, 4, 8, 11, 19} et {0, 6, 12, 18, 24, 30}.
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À suivre...
six fois six trente-six