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Polygones réguliers convexes et pavages
Par
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jp,
le
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lundi 18 janvier 2010 à
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01:19
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Géométrie | Page principale Jeux et Mathématiques
Une suggestion
Imprimez et découpez sur du papier de couleur les polygones réguliers de la page Polygones réguliers.
Fichier des polygones de 3 à 12 côtés, (les polygones suivants de 13 côtés et plus sont trop grands pour être mis sur une feuille A4).
Angles des polygones convexes
Décomposition d'un polygone convexe en triangles
Décomposition en triangles
Un polynôme convexe (régulier ou non) de n côtés se décompose en n-2 triangles.
Somme des angles d'un triangle
La somme des trois angles d'un triangle
Trois copies du triangle, convenablement disposées, montrent bien que la somme des trois angles du triangle est un angle plat.
La somme des angles d'un triangle quelconque est un angle plat qui vaut deux angles droits ou 180 degrés ou 200 grades ou Π radians.
Angles d'un polygone régulier convexe
La somme des n angles d'un polygone convexe de n côtés est la somme des angles de n-2 triangles, c'est-à-dire n-2 angles plats, (n-2)× 180° = (n-2)×Π.
Ma mesure en degrés est un nombre fractionnaire qui est entier lorsque n est un diviseur de 360.
Les n angles d'un polygones régulier convexe sont égaux et mesurent donc (n-2)/n angles plats.
| Côtés \ Mesure en | angles plats | degrés | radians |
|---|---|---|---|
| 3 | 1/3 | 60° | &Pi:/6 |
| 4 | 1/2 | 90° | Π/4 |
| 5 | 3/5 | 108° | 3&Pi/5 |
| 6 | 2/3 | 120° | 2Π/3 |
| 7 | 5/7 | ∉N | 5Π/7 |
| 8 | 3/4 | 135° | 3Π/4 |
| 9 | 7/9 | 140° | 7Π/9 |
| 10 | 4/5 | 144° | 4Π/5 |
| 11 | 9/11 | ∉N | 9Π/11 |
| 12 | 5/6 | 150° | 5Π/6 |
| 13 | 11/13 | ∉N | 11Π/13 |
| 14 | 6/7 | ∉N | 6Π/7 |
| 15 | 13/15 | 156° | 13Π/15 |
| 16 | 7/8 | ∉N | 7Π/8 |
| n | (n-2)/n | 180–360/n | (n-2)Π/n |
Angle plein et polygones réguliers
En un même sommet
En un même sommet
On peut disposer convenablement trois polygones réguliers de 4 côtés, 6 côtés et 12 côtés de telle manière qu'ils aient un même sommet et ne se superposent pas. La somme des trois angles est (en angles plats) :
1/2 + 2/3 + 5/6 = (3+4+5)/6 = 2 angles plats = 1 angle plein.
En effectuant la somme des angles en degrés on obtient 90 + 120 + 150 = 360 degrés.
Propriété : De deux polygones réguliers, celui qui a le plus de côtés a les angles les plus grands. (la mesure de l'angle est une fonction strictement croissante du nombre de côtés).
Ceci permet d'expliquer que les assemblages sont constitués de 3 polygones au minimum et de 6 polygones au maximum (le vérifier dans le tableau ci-dessous).
Cette propriété permet aussi de montrer que dans un assemblage il y a au plus un polygone de 13 côtés ou plus.
On peut en déduire un
Algorithme de dénombrement des assemblages solutions :
Il y a un nombre fini de listes (non ordonnées) de polygones de 3 à 12 côtés à tester. Les solutions sont les listes de polygones réguliers qui ont pour somme des angles 2 plats, soit exactement, soit en complétant la liste avec un seul polygone de 13 côtés ou plus.
Voici la liste des possibilités :
6 6 6,
5 5 10,
4 8 8,
4 6 12,
4 5 20,
4 4 4 4,
3 12 12,
3 10 15,
3 9 18,
3 8 24,
3 4 4 6,
3 3 6 6,
3 3 4 12,
3 3 3 4 4,
3 3 3 3 6,
3 3 3 3 3 3
(Les quatre configurations 4 5 20, 3 10 15, 3 9 18, 3 8 24 sont à vérifier par le calcul, en effet les polygones de 15, 18, 20, 24 côtés n'ont pas été fournis, avec 5cm de côté leurs tailles auraient été trop grandes).
On peut ne pas s'en tenir à l'algorithme de calcul précédent et expliquer pourquoi aucun polygone dont le nombre de côtés est multiple de 7, de 11, de 13 ou d'un nombre premier plus grand encore, n'est solution.
On peut expliquer, sans connaître l'ensemble des solutions, que si le nombre de côtés d'un polygone est divisible par 3, alors 3 divise aussi le nombre de côtés d'un autre des polygones au moins. (Idem pour le nombre 5 au lieu de 3).
Pavages réguliers ou semi-réguliers
Matériel
6 6 6 permet d'obtenir un pavage régulier du plan à l'aide d'un seul type de pavé hexagonal.
3 3 3 4 4 permet d'obtenir deux types distincts de pavages à l'aide du triangle et du carré comme motifs de pavés. Ce sont des pavages semi-réguliers
Quelles configurations ci-dessus ne peuvent pas s'étendre et ne donnent pas de pavage de tout le plan ?
Exemple : expliquer pourquoi 5 5 10 ne peut pas donner de pavage semi-régulier.
Remarque : On peut remplacer un hexagone par six triangles, ce qui devrait permettre de transformer certains pavages périodiques en pavages non périodiques. Comment ?
Proportions
Dans les pavages obtenus, quel est le nombre d"arêtes en chaque sommet ? Classer les pavages.
Par exemple avec le pavage (périodique du plan) 3 3 3 4 4 il y a cinq pavés en chaque sommet et donc cinq arêtes.
Quelle sont les proportions de triangles, carrés... dans les pavages ? Observez la première figure, quelles sont les proportions des triangles, carrés et hexagones dans ce pavage obtenu à partir de 3 4 4 6 ? Comment généraliser et calculer ?
Pour 3 4 4 6, chaque sommet est sur 1 triangle, 2 carrés et 1 hexagone mais il faut 3 points pour avoir un triangle, 4 points pour avoir un carré et 6 points pour avoir un hexagone !
En N sommets, il y a N/3 triangles et 2N/4 carrés et N/6 hexagones pour N/3+2N/4+N/6=6N/6=N polygones et les proportions sont donc de 1/3 triangles, 1/2 carrés et 1/6 d'hexagones. Il y a deux fois plus de triangles que d'hexagones et 3 fois plus de carrés que d'hexagones en moyenne.
Dénombrez les triangles, carrés et hexagones de la première figure.
Déterminez les proportions des différents polygones pour tous les pavages périodiques trouvés.
Les pavages périodiques du plan utilisant ces polygones réguliers
Dans la table ci-dessous on trouve uniquement les pavages réguliers ou semi-réguliers utilisant la même formule en chaque sommet. Il existe d'autres pavages combinant plusieurs formules comme par exemple 3 3 6 6 en certains sommets et 3 6 3 6 en d'autres ou encore 3 3 3 3 6.
On peut aussi construire des pavages incomplets en se fixant certaines règles (par exemple un choix de polygones particuliers).
Les pavages réguliers du plan sont les pavages qui utilisent un seul type de pavé.
Ils correspondent, dans la liste précédente à 3 3 3 3 3 3 (six triangles équilatéraux), à 4 4 4 4 (quatre carrés) et à 6 6 6 (trois hexagones réguliers).
Les pavages semi-réguliers du plan sont ceux qui utilisent plusieurs types de pavés et qui utilisent une même formule en tout sommet (par exemple 3 3 4 3 4 qui n'est pas la même formule que 3 3 3 4 4).
Dans la table ci-dessous on trouve donc uniquement les pavages réguliers ou semi-réguliers.
| Multi-ensemble | Pavages obtenus | Type |
|---|---|---|
| 6 6 6 | 6 6 6 | Régulier |
| 5 5 10 | 5 5 10 | Semi-régulier |
| 4 8 8 | 4 8 8 | Semi-régulier |
| 4 6 12 | 4 6 12 | Semi-régulier |
| 4 5 20 | ||
| 4 4 4 4 | 4 4 4 4 | Régulier |
| 3 12 12 | 3 12 12 | Semi-régulier |
| 3 10 15 | ||
| 3 9 18 | ||
| 3 8 24 | ||
| 3 4 4 6 | 3 4 4 6 3 4 6 4 | Semi-réguliers |
| 3 3 6 6 | 3 6 3 6 | Semi-régulier |
| 3 3 4 12 | 3 4 3 12 | Semi-régulier |
| 3 3 3 4 4 | 3 3 3 4 4 3 3 4 3 4 | Semi-réguliers |
| 3 3 3 3 6 | 3 3 3 3 6 | Semi-régulier |
| 3 3 3 3 3 3 | 3 3 3 3 3 3 | Régulier |