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Articulations planes et tenségrité.
Par
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mardi 09 février 2010 à
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19:28
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Graphes | Page principale Jeux et Mathématiques
Mailles carrées ou en losanges
Le tissu
Les côtés des mailles carrées de ce "tissu" sont des tiges rigides raccordées entre-elles de manière souple à leurs extrémités.
Côtés rigides
Pour tenter de rigidifier la structure dans le plan, des fils souples (mais non élastiques) de la longueur des diagonales sont fixés entre des sommets opposés dans ceraines mailles, ce qui permet une certaine triangulation, au moins en partie.
Cette construction est posée sur un plan et les pièces restent posées à plat sur le plan. La rigidité ne pourra pas être obtenus si on permet aux mailles de se soulever. (On peut penser que l'ensemble est placé entre deux lames de verre parallèles).
Les diagonales sont coloriées en rouge et en vert suivant leur orientation
Structure
La rigidité de la structure plane
En anglais le mot générique pour ce type de construction est "tensegrity" qui vient de "tensional integrity". Une recherche d'images sur le web vous montrera un grand nombre de constructions artistiques basées sur ce principe. Ces réalisations sont généralement construites dans l'espace et non dans le plan comme ici.
L'inventeur des premières œuvres de ce type est Kenneth Snelson en 1947 et le mot "tensegrity" est de R. Buckminster Fuller (Voir les liens).
En Français on parlera de "structures de tenségrité" pour les constructions et de la propriété de "tenségrité" (en architecture).
Résolution de ce type de maillage plan
Le graphe orienté ci-dessous a deux types de sommets, les abscisses B1 B2 B3 B4 B5 B6 des cases et les ordonnées A1 A2 A3 A4.
Les arcs orientés du graphe correspondent aux fils rouges ou verts des diagonales.
Les arcs verts et les arcs rouges ont des orientations inverses.
Graphe orienté biparti
Propriété : La rigidité dans le plan est obtenue lorsque deux sommets quelconques sont toujours reliés par un chemin orienté.
Il doit exister un chemin orienté de tout sommet X vers tout sommet Y, et il doit donc exister aussi un chemin orienté de Y vers X, et ce chemin n'est pas le même.
Dans l'exemple donné, la structure n'est pas rigide, modifiez-la pour la rigidifier.
Diagonales rigides
Sur la figure ci-dessous on voit qu'il est nécessaire de placer des fils sur les deux diagonales du carré pour le rigidifier. Mais si au contraire on place une tige rigide sur l'une des diagonales, il n'est pas nécessaire de placer une seconde tige sur l'autre diagonale pour rigidifier le carré.
Lorsque l'on utilise des tiges rigides sur certaines diagonales, il suffit de construire le graphe biparti non orienté. Dans ce cas la structure plane est rigide s'il existe un chemin (non orienté) entre deux sommets quelconques du graphe.
Matériel à découper et à assembler pour une activité, (nécessite des agrafes parisiennes ou équivalent).
Documents, liens
Tous les détails se trouventt dans les articles de R. Connelly, et dans la presentation. BasicsI.BasicsII.pdf
Kenneth Snelson site personnel.
http://en.wikipedia.org/wiki/Buckminster_Fuller
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenségrité_(architecture)